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【中2・数学】みんな苦手になってない?動点P問題を丁寧に解説!

今回は数学の動点問題について解説していきます!
動点問題とは、あの動く点Pのことです。
苦手な人も多いですよね・・・

ですが大丈夫です!
ポイントを押さえれば解けるようになります!
記事を読んでしっかりマスターしていきましょう!

さて、では早速例題をみていきましょう!

例題
AB=6cm, BC=4cmの長方形ABCDがあり、点PはAを出発して毎秒1cmの速さでA→B→C→Dと移動していく。
出発からx秒後の三角形APDの面積をycm2とする。
(1) 0 ≦ x ≦ 6 のとき、yをxの式で表せ。
(2) 6 ≦ x ≦ 10 のとき、yをxの式で表せ。
(3) 0 ≦ x ≦ 16 のときのグラフを描け。

見るからに複雑な問題ですね。

このような複雑な問題を解くときは、まずは図を書いてみましょう!
図を書くことによって情報を整理できて、見直しのときにもミスを見つけやすくなります。
まずは問題の設定を図に書いてみるとこのようになります。

ここで、点Pは毎秒1cmの速さで動いているので、x秒後にはAからx cmの位置にあることに注意しましょう。

(1) 0 ≦ x ≦ 6 のとき、yをxの式で表せ。

まずはxがこの範囲のとき、点Pがどこの位置にあるのかを考えてみましょう。

xが0のときは、点PはAと同じ位置にいますね。
xが6のときは、点PはAから6cmの位置、つまりBの位置にいることが分かります。

したがって 0 ≦ x ≦ 6 のとき、点PはAとBの間にあることになります。
点Pを図で示してみると、以下のようになります。

それではこの図からyをxの式で表してみましょう。

となるので、

というように計算することができます。

例題
(1)解答

(2) 6 ≦ x ≦ 10 のとき、yをxの式で表せ。

先ほどと同じようにxがこの範囲のときの点Pの位置を考えていきましょう。
x = 6のときは、Bの位置にいます。
x = 10のときは、点PはBからさらに4cm進んだ場所にいるのでCと重なることが分かります。

したがって 6 ≦ x ≦ 10 のとき、点PはBとCの間にあることになります。
このときの点Pの位置を図示してみましょう。

それではこの図からyをxの式で表してみましょう。

となるので、

となります。

三角形の底辺も高さも変化していないので面積も一定になっていることがわかると思います。

例題
(2)解答

(3) 0 ≦ x ≦ 16 のときのグラフを描け。

さて、グラフの描画問題がきましたね。

グラフの問題では、xの範囲に注意して解いていきましょう。
今回の問題では、(1)(2)より、x=6とx=10でyとxの関係が変化することが分かります。
なのでこの範囲に区切ってグラフを描いていきましょう!

まず 0 ≦ x ≦ 6 のとき、
y = 2x なのでその部分をグラフに描いていきます。


続いて 6 ≦ x ≦ 10 のとき、
y = 12 なのでグラフに描いていきましょう。

最後に 10 ≦ x ≦ 16 のときを考えていきましょう。
(1)(2)と同様に考えると、y = -2x + 32 となります(ここは自分で計算してみよう)。

これをグラフに描いていきましょう。


このように、グラフを描く問題では点Pの位置関係を考えて
yとxの関係が変化する場所を考えて区切っていきましょう。

例題(3)解答

動点問題を解くときのポイントは、
1.図を描いて整理する
2.yとxの関係が変化する場所を見つける
です!

【コツ】
基本的には点Pが頂点を通る前後でyとxの関係が変化します。
何秒後に頂点に到達するかを考えてみましょう!

それでは実際に問題を解いてみましょう!
解き終わったら「解答・解説」のタブをクリック(タップ)して、
答え合わせをしてくださいね!

一辺が6cmの正方形ABCDがある。
点PはAを出発し毎秒2cmの速さでA→B→C→Dと移動していく。
出発からx秒後の三角形APCの面積を$y cm^2$とする。
(1) 0 ≦ x ≦ 3 のとき、yをxの式で表せ。
(2) 3 ≦ x ≦ 6 のとき、yをxの式で表せ。
(3) 0 ≦ x ≦ 6 のときのグラフを描け。

解けたでしょうか?
動点の問題は難しいですがしっかり図をかいてイメージしていくと
解けるようになっていきますよ!

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どのような問題が出ても解答できるように演習しましょうね!

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インターン生のアバター インターン生 マーケティングG

マーケティンググループでインターンをしている2人です!
主にデータ分析や、その他多種多様な業務を行なっています!
現在大学4年生。数学専攻。

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